Cho hàm số y = x 4 - 2 ( 1 - m 2 ) x 2 + m + 1 . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số lập thành tam giác có diện tích lớn nhất
A. m = 0
B. m = - 1 2
C. m = 1
D. m = 1 2
Đáp án A
Phương pháp giải:
Tìm tọa độ điểm cực trị của đồ thị hàm số trùng phương và tính diện tích tam giác
Lời giải: TXĐ : D = R
Ta có 
R
Phương trình 
Hàm số có 3 điểm cực trị ó (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 
Khi đó 
Gọi 
; 
là ba điểm cực trị. Tam giác ABC cân tại A.
Trung điểm H của BC là 
Và 
Diện tích tam giác ABC là 
Mà 
R suy ra 
Vậy Smax = 1 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi m = 0
Cho hàm số y = x 4 - 2 ( 1 - m 2 ) x 2 + m + 1 . Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số lập thành tam giác có diện tích lớn nhất
A. m = - 1 2
B. m = 1 2
C. m = 0
D. m = 1
Chọn C
[Phương pháp tự luận]
Hàm số có cực đại , cực tiểu khi và chỉ khi m < 1
Tọa độ điểm cực trị A ( 0 ; m + 1 )
Phương trình đường thẳng BC: y + m 4 - 2 m 2 - m = 0
Vậy S đạt giá trị lớn nhất ⇔ m = 0
[Phương pháp trắc nghiệm]
Vậy S đạt giá trị lớn nhất ⇔ m = 0
Cho hàm số y = x 4 - 2 ( 1 - m 2 ) x 2 + m + 1 . Tìm tất các giá trị của tham số m để hàm số cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị lập thành một tam giác có diện tích lớn nhất
A. m = 1 2
B. m = 0
C. m = 1
D. m = - 1 2
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để điểm M( 2m3; m) tạo với hai điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số y= 2x3-3( 2m+ 1) x2+ 6m( m+1) x+1 (C) một tam giác có diện tích nhỏ nhất.
A. -1
B. 0
C. 1
D. 2
+ Ta có: y’ = 6x2-6( 2m+1) x+ 6m(m+1)
do đó hàm số luôn có cực đại cực tiểu với mọi m.
+ Tọa độ các điểm CĐ, CT của đồ thị là A( m; 2m3+3m2+1 ) và B( m+1; 2m3+3m2)
Suy ra AB = √2 và phương trình đường thẳng AB: x+ y-2m3-3m2-m-1=0.
+ Do đó, tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất khi và chỉ khi khoảng cách từ M tới AB nhỏ nhất.
d ( M , A B ) = 3 m 2 + 1 2 ⇒ d ( M , A B ) ≥ 1 2 ⇒ m i n d ( M , A B ) = 1 2
đạt được khi m=0
Chọn B
Cho hàm số y = x 4 - 2 1 - m 2 x 2 + m + 1 . Tìm tất các giá trị của tham số m để hàm số cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị lập thành một tam giác có diện tích lớn nhất
A. 1 2
B. 0
C. 1
D. - 1 2
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để điểm M ( 2 m 3 ; m ) tạo với hai điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số y = 2 x 3 - 3 ( 2 m + 1 ) x 2 + 6 m ( m + 1 ) x + 1 một tam giác có diện tích nhỏ nhất
A. m = 2
B. m = 0
C. m = 1
D. m = -1
Chọn B
Ta có:
⇒ ∀ m ∈ ℝ , hàm số luôn có CĐ, CT
Tọa độ các điểm CĐ, CT của đồ thị là
Suy ra A B = 2
và phương trình đường thẳng x + y - 2 m 3 - 3 m 2 - m - 1 = 0
Do đó, tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất khi và chỉ khi khoảng cách từ M tới AB nhỏ nhất.
Ta có:
⇒ đạt được khi m = 0
Câu 3 Để đồ thị hàm số \(y=-x^4-\left(m-3\right)x^2+m+1\) có điểm cực đạt mà không có điểm cực tiểu thì tất cả giá trị thực của tham số m là
Câu 4 Cho hàm số \(y=x^4-2mx^2+m\) .Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số có 3 cực trị
Cho hàm số \(y=x^3-3x^2+m^2x+m\). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đối xứng nhau qua đường thẳng d:\(y=\frac{1}{2}x-\frac{5}{2}\)
Ta có : \(y'=3x^2-6x+m^2\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow3x^2-6x+m^2=0\left(1\right)\)
Hàm số có cực trị \(\Leftrightarrow\left(1\right)\) có 2 nghiệm phân biệt \(x_1;x_2\)
\(\Leftrightarrow\Delta'=3\left(3-m^2\right)>0\Leftrightarrow-\sqrt{3}< m< \sqrt{3}\)
Phương trình đường thẳng d' đi qua các điểm cực trị là : \(y=\left(\frac{2}{3}m^2-2\right)x+\frac{1}{3}m^2\)
=> Các điểm cực trị là :
\(A\left(x_1;\left(\frac{2}{3}m^2-2\right)x_1+\frac{1}{3}m^2+3m\right);B\left(x_2;\left(\frac{2}{3}m^2-2\right)x_2+\frac{1}{3}m^2+3m\right);\)
Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng d và d' :
\(\Rightarrow I\left(\frac{2m^2+6m+15}{15-4m^2};\frac{11m^2+3m-30}{15-4m^2}\right)\)
A và B đối xứng đi qua d thì trước hết \(d\perp d'\Leftrightarrow\frac{2}{3}m^2-2=-2\Leftrightarrow m=0\)
Khi đó \(I\left(1;-2\right);A\left(x_1;-2x_1\right);B\left(x_2;-2x_2\right)\Rightarrow I\) là trung điểm của AB=> A và B đối xứng nhau qua d
Vậy m = 0 là giá trị cần tìm
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = x 3 - 3 m x 2 + ( m - 1 ) x + 2 có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số có hoành độ dương
A. 0 ≤ m ≤ 1
B. m ≥ 1
C. m ≥ 0
D. m > 1
Chọn D
Ta có y ' = 3 x 2 - 6 m x + m - 1
Hàm số có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi PT y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt
Điều này tương đương
Hai điểm cực trị có hoành độ dương
Vậy các giá trị cần tìm của m là m >1
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số y = x 3 - 3 m x + 2 cắt đường tròn tâm I(1;1) bán kính R=1 tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn nhất.
A. m = 2 ± 3 2
B. m = 1 ± 3 2
C. m = 2 ± 5 2
D. m = 1 ± 5 2
